39. Основание пирамиды – треугольник со сторонами 20см, 21см и 29см. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы в 45°. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Для нахождения высоты пирамиды, нам нужно знать площадь основания и апофему боковой грани. Однако, из условия задачи мы знаем, что боковые грани образуют с плоскостью основания угол в 45°. Это означает, что высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности в треугольник основания, умноженному на тангенс угла наклона боковой грани (который равен 1 в данном случае, так как tg(45°)=1).

Сначала найдем площадь треугольника основания по формуле Герона:

1. Полупериметр \( p = \frac{20 + 21 + 29}{2} = \frac{70}{2} = 35 \) см.
2. Площадь основания \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)} = \sqrt{35 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 6} = \sqrt{44100} = 210 \) см².
3. Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} = \frac{210}{35} = 6 \) см.
4. Так как угол наклона боковых граней к плоскости основания равен 45°, высота пирамиды \( h \) равна радиусу вписанной окружности: \( h = r \cdot \tan(45°) = 6 \cdot 1 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.