45. Найдите площадь осевого сечения конуса, если образующая равна 8см. и наклонена к плоскости основания по углом 45°.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник. Его площадь равна \( S_{oc} = r \cdot h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота конуса.

Дано:

• образующая \( l = 8 \) см
• угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 45° \)

Найдем радиус \( r \) и высоту \( h \) в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — образующая \( l \), а катеты — радиус \( r \) и высота \( h \).

1. Найдём радиус \( r \):
• \( \text{sin}(\alpha) = \frac{r}{l} \)
• \( \text{sin}(45°) = \frac{r}{8} \)
• \( r = 8 \cdot \text{sin}(45°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.
2. Найдём высоту \( h \):
• \( \text{cos}(\alpha) = \frac{h}{l} \)
• \( \text{cos}(45°) = \frac{h}{8} \)
• \( h = 8 \cdot \text{cos}(45°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.
3. Найдем площадь осевого сечения:
4. \( S_{oc} = r \cdot h = 4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 16 \cdot 2 = 32 \) см².

Ответ: 32 см².