41. Образующая конуса равна 10см и наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь основания конуса.

Решение:

Площадь основания конуса находится по формуле \( S = \pi r^2 \), где \( r \) — радиус основания. Нам нужно найти радиус.

Образующая \( l = 10 \) см. Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 30° \).

В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом основания и высотой конуса, образующая является гипотенузой, а радиус — катетом, противолежащим углу \( \alpha \).

Используем формулу:

\( \text{sin}(\alpha) = \frac{r}{l} \)

\( \text{sin}(30°) = \frac{r}{10} \)

Так как \( \text{sin}(30°) = 0.5 \), имеем:

\( 0.5 = \frac{r}{10} \)

\( r = 0.5 \cdot 10 = 5 \) см.

Теперь найдем площадь основания:

\( S = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \) см².

Ответ: 25\(\pi\) см².