394. Сколько элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благоприятствует: а) 2 успехам; б) 6 успехам; в) 5 успехам; г) 3 успехам?

Решение:

Число элементарных событий, благоприятствующих k успехам в серии из n испытаний Бернулли, равно числу сочетаний из n по k, которое вычисляется по формуле \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В данном случае \( n = 8 \) (количество испытаний).

а) 2 успехам:

\( C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \)

б) 6 успехам:

\( C_8^6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \)

в) 5 успехам:

\( C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)

г) 3 успехам:

\( C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)

Ответ: а) 28; б) 28; в) 56; г) 56.