402. Найдите вероятность появления ровно трёх орлов в серии бросаний симметричной монеты, если монету бросают: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 7 раз; г) 9 раз; д) 8 раз; е) n раз.

Решение:

Вероятность появления орла (успеха) при броске симметричной монеты \( p = 0.5 \), вероятность появления решки (неудачи) \( q = 1 - p = 0.5 \). Количество испытаний \( n \) и желаемое число успехов \( k = 3 \).

Вероятность \( P(X=k) \) в схеме Бернулли вычисляется по формуле: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

а) 3 раза (n=3, k=3):

\( P(X=3) = C_3^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{3-3} = 1 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^0 = 0.125 \cdot 1 = 0.125 \)

б) 5 раз (n=5, k=3):

\( P(X=3) = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125 \)

в) 7 раз (n=7, k=3):

\( P(X=3) = C_7^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{7-3} = 35 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^4 = 35 \cdot 0.125 \cdot 0.0625 \approx 0.2734 \)

г) 9 раз (n=9, k=3):

\( P(X=3) = C_9^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{9-3} = 84 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^6 = 84 \cdot 0.125 \cdot 0.015625 \approx 0.1641 \)

д) 8 раз (n=8, k=3):

\( P(X=3) = C_8^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{8-3} = 56 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^5 = 56 \cdot 0.125 \cdot 0.03125 \approx 0.2188 \)

е) n раз (n - любое, k=3):

\( P(X=3) = C_n^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{n-3} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \cdot (0.5)^n \)

Ответ: а) 0.125; б) 0.3125; в) \( \approx 0.2734 \); г) \( \approx 0.1641 \); д) \( \approx 0.2188 \); е) \( \frac{n!}{6 \cdot (n-3)!} \cdot (0.5)^n \).