403. Игральную кость бросают шесть раз. Найдите вероятность того, что пятёрка выпадет: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 1 раз; г) 6 раз; д) 2 раза; е) ни разу.

Решение:

При броске игральной кости вероятность выпадения пятёрки (успеха) \( p = \frac{1}{6} \), а вероятность невыпадения пятёрки (неудачи) \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \). Количество испытаний \( n = 6 \).

Вероятность \( P(X=k) \) вычисляется по формуле Бернулли: \( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \).

а) 3 раза (k=3):

\( P(X=3) = C_6^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{6-3} = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot (\frac{5}{6})^3 = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = \frac{2500}{46656} \approx 0.0536 \)

б) 5 раз (k=5):

\( P(X=5) = C_6^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{6-5} = 6 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{5}{6} = \frac{30}{46656} \approx 0.00064 \)

в) 1 раз (k=1):

\( P(X=1) = C_6^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{6-1} = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5 = 1 \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \approx 0.4019 \)

г) 6 раз (k=6):

\( P(X=6) = C_6^6 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{6-6} = 1 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^0 = \frac{1}{46656} \approx 0.00002 \)

д) 2 раза (k=2):

\( P(X=2) = C_6^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{6-2} = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot (\frac{5}{6})^4 = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{9375}{46656} \approx 0.2009 \)

е) ни разу (k=0):

\( P(X=0) = C_6^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{6-0} = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^6 = \frac{15625}{46656} \approx 0.3349 \)

Ответ: а) \( \frac{2500}{46656} \) (\( \approx 0.0536 \)); б) \( \frac{30}{46656} \) (\( \approx 0.00064 \)); в) \( \frac{3125}{7776} \) (\( \approx 0.4019 \)); г) \( \frac{1}{46656} \) (\( \approx 0.00002 \)); д) \( \frac{9375}{46656} \) (\( \approx 0.2009 \)); е) \( \frac{15625}{46656} \) (\( \approx 0.3349 \)).