4) \(0{,}5^{\frac{1}{x}}=4^{\frac{1}{x+1}}\);

Область допустимых значений: \(x\neq0\), \(x\neq-1\).

Представим основания как степени двойки:

\[0{,}5=2^{-1},\qquad 4=2^2\]

Тогда:

\[\left(2^{-1}\right)^{\frac1x}=\left(2^2\right)^{\frac1{x+1}}\]

Приравняем показатели:

\[-\frac1x=\frac2{x+1}\]

Умножим на \(x(x+1)\):

\[-(x+1)=2x\]

\[-x-1=2x\]

\[x=-\frac13\]

Ограничения не нарушены.

Ответ: \(x=-\frac13\).