4) \(0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\), \(x\ne-1\). Представим основания как степени двойки: \(0{,}5=2^{-1}\), \(4=2^2\). Тогда уравнение принимает вид \(2^{-1/x}=2^{2/(x+1)}\). Приравняем показатели:

\(-\frac1x=\frac2{x+1}\).

Умножая на \(x(x+1)\), получаем \(-(x+1)=2x\), откуда \(x=-\frac13\). Значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x=-\frac13\).