4. (1 балл) Найдите значение выражения (2^3 * 5^3)^5 / 10^15

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней:

• \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
• \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• \( 10 = 2 \cdot 5 \)

1. Применим свойство \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) к числителю: \( (2^3 \cdot 5^3)^5 = (2^3)^5 \cdot (5^3)^5 \).
2. Применим свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15} \) и \( (5^3)^5 = 5^{3 \cdot 5} = 5^{15} \).
3. Таким образом, числитель равен \( 2^{15} \cdot 5^{15} \).
4. Представим знаменатель \( 10^{15} \) как \( (2 \cdot 5)^{15} = 2^{15} \cdot 5^{15} \).
5. Теперь вычислим значение всего выражения: \( \frac{2^{15} \cdot 5^{15}}{2^{15} \cdot 5^{15}} \).
6. Все множители сокращаются, и результат равен 1.

Ответ: 1.