6. (1 балл) Найдите sin α, если cos α = 24/25 и α ∈ (0; π/2).

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. Подставим значение \( \cos \alpha \) в тождество: \( \sin^2 \alpha + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = 1 \).
2. Вычислим квадрат косинуса: \( \sin^2 \alpha + \frac{576}{625} = 1 \).
3. Выразим \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{576}{625} = \frac{625 - 576}{625} = \frac{49}{625} \).
4. Найдем \( \sin \alpha \), извлекая квадратный корень: \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{49}{625}} = \pm \frac{7}{25} \).
5. По условию задачи \( \alpha \) принадлежит промежутку \( (0; \frac{\pi}{2}) \), что означает, что \( \alpha \) — угол первой четверти. В первой четверти синус положителен.
6. Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{7}{25} \).

Ответ: 7/25.