5. (1 балл) Найдите значение выражения log₆ 90 - log₆ 2,5 + log₁₆ log₄ 16

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов:

• \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \)
• \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \)
• \( \log_a a = 1 \)
• \( \log_a b^n = n \log_a b \)

1. Сначала упростим часть \( \log_{16} \log_4 16 \).
2. Вычислим \( \log_4 16 \). Так как \( 4^2 = 16 \), то \( \log_4 16 = 2 \).
3. Теперь выражение стало \( \log_{16} 2 \).
4. Так как \( 16^{1/2} = \sqrt{16} = 4 \) и \( 16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2 \), то \( \log_{16} 2 = \frac{1}{4} \).
5. Теперь вернемся к исходному выражению: \( \log_6 90 - \log_6 2.5 + \frac{1}{4} \).
6. Объединим первые два члена: \( \log_6 \frac{90}{2.5} + \frac{1}{4} \).
7. Вычислим \( \frac{90}{2.5} = \frac{900}{25} = 36 \).
8. Выражение стало: \( \log_6 36 + \frac{1}{4} \).
9. Вычислим \( \log_6 36 \). Так как \( 6^2 = 36 \), то \( \log_6 36 = 2 \).
10. Окончательный результат: \( 2 + \frac{1}{4} = 2.25 \).

Ответ: 2.25.