4.1. Даны координаты точек A(3, 4, 5), B(1, 0, 3), C(4, 6, 7). Вычислить площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника в пространстве равна половине модуля векторного произведения двух его сторон, выходящих из одной вершины.

\(\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,-4,-2)\), \(\overrightarrow{AC}=C-A=(1,2,2)\).

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-4,2,0).\]

\[S_{ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac12\sqrt{(-4)^2+2^2+0^2}=\sqrt5.\]

Ответ: \(\sqrt5\) квадратных единиц.