4. 1) Докажите, что при любых значениях x верно равенство: а) $\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$; б) $\frac{x+39}{x^2+x-12}=\frac{6}{x-3}-\frac{5}{x+4}$. 2) Найдите значения a и b, при которых для любых значений x верно равенство: а) $\frac{3x}{x-2}-\frac{6x-1}{2x+1}=\frac{ax+b}{2x^2-3x-2}$; б) $\frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. 1) Докажите, что при любых значениях x верно равенство: а) $\frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) При $x\ne\pm1$: $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}$.
б) При $x\ne3,-4$: $\frac{6}{x-3}-\frac{5}{x+4}=\frac{6(x+4)-5(x-3)}{(x-3)(x+4)}=\frac{x+39}{x^2+x-12}$.
а) Так как $2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$, то
$\frac{3x}{x-2}-\frac{6x-1}{2x+1}=\frac{3x(2x+1)-(6x-1)(x-2)}{(x-2)(2x+1)}=\frac{16x-2}{2x^2-3x-2}$. Следовательно, $a=16$, $b=-2$.
б) Приведём правую часть к общему знаменателю: $\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{(a+b)x+(a-b)}{x^2-1}$. Поэтому $a+b=0$, $a-b=1$, откуда $a=\frac12$, $b=-\frac12$.

Ответ: 2а) $a=16, b=-2$; 2б) $a=\frac12, b=-\frac12$.