4.1 Упростите выражение: а) (x/y − y/x) · 5xy/(x − y); б) (z²/t² + 2z/t + 1) : ((t + z)/t); в) (a/b − b/a) : ((a + b)/(3ab)); г) (1 − 2c/d + c²/d²) · d/(c − d).

1. а) Приведём разность к общему знаменателю и сократим:

   \(\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{5xy}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{xy}\cdot\frac{5xy}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{xy}\cdot\frac{5xy}{x-y}=5(x+y).\)

   Ограничения: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne y\).

2. б) Свернём квадрат суммы и разделим дроби:

   \(\left(\frac{z^2}{t^2}+\frac{2z}{t}+1\right):\frac{t+z}{t}=\frac{(z+t)^2}{t^2}\cdot\frac{t}{t+z}=\frac{t+z}{t}.\)

   Ограничения: \(t\ne0\), \(t+z\ne0\).

3. в) Разложим разность квадратов и умножим на обратную дробь:

   \(\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right):\frac{a+b}{3ab}=\frac{(a-b)(a+b)}{ab}\cdot\frac{3ab}{a+b}=3(a-b).\)

   Ограничения: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+b\ne0\).

4. г) Свернём квадрат разности:

   \(\left(1-\frac{2c}{d}+\frac{c^2}{d^2}\right)\cdot\frac{d}{c-d}=\frac{(c-d)^2}{d^2}\cdot\frac{d}{c-d}=\frac{c-d}{d}.\)

   Ограничения: \(d\ne0\), \(c\ne d\).

Ответ: а) \(5(x+y)\); б) \(\frac{t+z}{t}\); в) \(3(a-b)\); г) \(\frac{c-d}{d}\).