4.1. Вычислите: 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 + 1/110 + 1/132.

Разложим знаменатели: 20=4·5, 30=5·6, 42=6·7, …, 132=11·12. Используем равенство \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\).

Тогда сумма равна \((\frac14-\frac15)+(\frac15-\frac16)+\cdots+(\frac1{11}-\frac1{12})\). Промежуточные слагаемые сокращаются:

\(\frac14-\frac1{12}=\frac3{12}-\frac1{12}=\frac2{12}=\frac16\).

Ответ: \(\frac16\).