4.19. Упростите выражение: а) \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt a}}\cdot a^{-1/8}\); б) \(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt x}}}:x^{-3/16}\).

Представим каждый квадратный корень как возведение в степень \(1/2\), затем применим правила действий со степенями.

1. а) Изнутри наружу: \(\sqrt a=a^{1/2}\), \(\sqrt{a\sqrt a}=a^{3/4}\), \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt a}}=a^{7/8}\). Тогда \(a^{7/8}\cdot a^{-1/8}=a^{6/8}=a^{3/4}\).
2. б) Изнутри наружу: \(\sqrt x=x^{1/2}\), следующие вложенные корни дают \(x^{3/4}\), \(x^{7/8}\), \(x^{15/16}\). Тогда \(x^{15/16}:x^{-3/16}=x^{18/16}=x^{9/8}\).