4. √(2x − 3) + √(4x + 1) = 4

Область допустимых значений: \(x\ge \frac{3}{2}\). Возведём уравнение в квадрат:

\(6x-2+2\sqrt{(2x-3)(4x+1)}=16\), поэтому \(\sqrt{(2x-3)(4x+1)}=9-3x\). Следовательно, также должно быть \(x\le 3\).

Ещё раз возведём в квадрат:

\((2x-3)(4x+1)=9(3-x)^2\),

\(x^2-44x+84=0\), откуда \(x=2\) или \(x=42\). С учётом условий подходит только \(x=2\).

Проверка: \(\sqrt{1}+\sqrt{9}=1+3=4\).

Ответ: \(x=2\).