4. (4 балла) Дана правильная треугольная призма. Выясните взаимное расположение: 1. AB и C₁C; 2. CC₁ и (ABC); 3. (ABC) и (A₁B₁C₁)

Решение:

Правильная треугольная призма имеет два основания, которые являются правильными треугольниками, и три боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

1. 1. Взаимное расположение AB и C₁C:

   Рёбра \( AB \) и \( C_1C \) принадлежат разным граням призмы. \( AB \) — ребро основания, а \( C_1C \) — боковое ребро. Боковые рёбра призмы параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям. \( AB \) лежит в основании \( ABC \), а \( C_1C \) перпендикулярно этому основанию. Прямые \( AB \) и \( C_1C \) не пересекаются и не параллельны, значит, они являются скрещивающимися.

2. 2. Взаимное расположение CC₁ и (ABC):

   \( CC_1 \) — это боковое ребро правильной призмы. По определению правильной призмы, боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, \( CC_1 \) перпендикулярно плоскости основания \( (ABC) \).

3. 3. Взаимное расположение (ABC) и (A₁B₁C₁):

   \( (ABC) \) и \( (A_1B_1C_1) \) — это плоскости оснований правильной треугольной призмы. По определению призмы, основания параллельны друг другу. Следовательно, плоскости \( (ABC) \) и \( (A_1B_1C_1) \) параллельны.

Ответ: 1. Скрещивающиеся; 2. Перпендикулярны; 3. Параллельны.