4. №4 Вычислить площадь (первый график):

Решение:

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 4x - x^2 \) и осью \( Ox \).

Сначала найдём точки пересечения параболы с осью \( Ox \), приравняв \( y = 0 \):

\( 4x - x^2 = 0 \)

\( x(4 - x) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( x = 4 \).

Таким образом, пределы интегрирования — от \( 0 \) до \( 4 \).

Площадь вычисляется как интеграл от функции \( y = 4x - x^2 \) по отрезку \( [0, 4] \).

\( S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx \)

Интегрируем:

\( \int (4x - x^2) dx = 4 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{x^3}{3} \)

Применяем пределы интегрирования:

\( S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = (2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3}) - (2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3}) \)

\( S = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: \( \frac{32}{3} \).