4. [5 балл] M(−3; 2), P(−1; −2), K(2; 1), D(5; b) нүктелері берілген. a) b векторының қандай мәнінде MP⃗ және KD⃗ коллинеар болады? b) b векторының қандай мәнінде MP⃗ және KD⃗ перпендикуляр болады?

Сначала найдём координаты векторов: \(\overrightarrow{MP}=(-1-(-3);-2-2)=(2;-4)\), \(\overrightarrow{KD}=(5-2;b-1)=(3;b-1)\).

а) Коллинеарность. Для коллинеарных векторов определитель равен нулю: \(2(b-1)-(-4)\cdot3=0\). Отсюда \(2b+10=0\), поэтому \(b=-5\).

б) Перпендикулярность. Для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю: \(2\cdot3+(-4)(b-1)=0\). Получаем \(10-4b=0\), поэтому \(b=\frac52\).

Ответ: а) \(b=-5\); б) \(b=\frac52\).