4.53. A(1; 4) нүктесі арқылы өтетін, радиусы 5-ке тең және центрі Ох осінде жататын шеңбердің теңдеуін жазыңдар.

Міне, бұл есептің шешімі:

Бізде шеңбердің теңдеуін табу керек. Бізге белгілі:

• Шеңбер А(1; 4) нүктесі арқылы өтеді.
• Шеңбердің радиусы $$R=5$$.
• Шеңбердің центрі $$Ox$$ осінде жатыр.

1. Шеңбердің центрінің координатасын анықтаймыз.

Шеңбердің центрі $$Ox$$ осінде жатқандықтан, оның $$y$$ координатасы $$0$$-ге тең. Центрді $$(h, k)$$ деп белгілесек, онда $$k=0$$. Центрдің $$x$$ координатасын $$h$$ деп алайық. Демек, центрдің координаталары $$(h, 0)$$ болады.

2. Шеңбердің теңдеуін жазамыз.

Шеңбердің жалпы теңдеуі: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 \]

Біздің жағдайда $$k=0$$ және $$R=5$$. Сондықтан теңдеу мынадай болады:

\[ (x - h)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \]

\[ (x - h)^2 + y^2 = 25 \]

3. $$h$$ мәнін табамыз.

Шеңбер А(1; 4) нүктесі арқылы өтетіндіктен, бұл нүктенің координаталары шеңбер теңдеуіне сәйкес келуі керек. Яғни, $$x=1$$ және $$y=4$$ мәндерін теңдеуге қоямыз:

\[ (1 - h)^2 + 4^2 = 25 \]

\[ (1 - h)^2 + 16 = 25 \]

Енді $$(1 - h)^2$$ мәнін табамыз:

\[ (1 - h)^2 = 25 - 16 \]

\[ (1 - h)^2 = 9 \]

Бұл теңдеуді шешу арқылы $$h$$ мәнін табамыз:

\[ 1 - h = 23 \quad & & & & 1 - h = -3 \]

Екі жағдайды қараймыз:

Жағдай 1:

\[ 1 - h = 3 \]

\[ h = 1 - 3 \]

\[ h = -2 \]

Онда шеңбердің центрі $$(-2, 0)$$ болады.

Жағдай 2:

\[ 1 - h = -3 \]

\[ h = 1 - (-3) \]

\[ h = 1 + 3 \]

\[ h = 4 \]

Онда шеңбердің центрі $$(4, 0)$$ болады.

4. Шеңберлердің теңдеулерін жазамыз.

Екі түрлі шеңбер болуы мүмкін, себебі $$h$$ мәнінің екі шешімі бар.

Бірінші шеңбер (центрі $$(-2, 0)$$):

\[ (x - (-2))^2 + y^2 = 25 \]

\[ (x + 2)^2 + y^2 = 25 \]

Екінші шеңбер (центрі $$(4, 0)$$):

\[ (x - 4)^2 + y^2 = 25 \]

Жауабы:

Шеңбердің теңдеуі:

• \[ (x + 2)^2 + y^2 = 25 \]
• немесе
• \[ (x - 4)^2 + y^2 = 25 \]