4.54. Центрі у=х+2 түзуінде жатқан А (3; 0), В (-1; 2) нүктелері арқылы өтетін шеңбердің теңдеуін жазыңдар.

Міне, бұл есептің шешімі:

Біз шеңбердің теңдеуін табуымыз керек. Бізге мынадай ақпарат берілген:

• Шеңбер А(3; 0) және В(-1; 2) нүктелері арқылы өтеді.
• Шеңбердің центрі $$y = x + 2$$ түзуінде жатыр.

1. Шеңбердің центрінің координатасын табамыз.

Шеңбердің центрі $$(h, k)$$ болсын. Ол $$y = x + 2$$ түзуінде жатқандықтан, $$k = h + 2$$ теңдігі орындалады.

Сондай-ақ, шеңбердің центрінен оның бойында жатқан кез келген нүктеге дейінгі қашықтық (радиус) бірдей болады. Яғни, центірден А нүктесіне дейінгі қашықтық пен центірден В нүктесіне дейінгі қашықтық тең.

Центр $$(h, h+2)$$ нүктесінен А(3; 0) нүктесіне дейінгі қашықтық:

\[ R^2 = (h - 3)^2 + ((h+2) - 0)^2 \]

\[ R^2 = (h - 3)^2 + (h + 2)^2 \]

Центр $$(h, h+2)$$ нүктесінен В(-1; 2) нүктесіне дейінгі қашықтық:

\[ R^2 = (h - (-1))^2 + ((h+2) - 2)^2 \]

\[ R^2 = (h + 1)^2 + h^2 \]

Енді екі $$R^2$$ теңдіктерін теңестіреміз:

\[ (h - 3)^2 + (h + 2)^2 = (h + 1)^2 + h^2 \]

Есептеп шығарамыз:

\[ (h^2 - 6h + 9) + (h^2 + 4h + 4) = (h^2 + 2h + 1) + h^2 \]

\[ 2h^2 - 2h + 13 = 2h^2 + 2h + 1 \]

Теңдіктің екі жағындағы $$2h^2$$ жойылады:

\[ -2h + 13 = 2h + 1 \]

Енді $$h$$-ты бір жаққа, сандарды екінші жаққа жинаймыз:

\[ 13 - 1 = 2h + 2h \]

\[ 12 = 4h \]

\[ h = \frac{12}{4} \]

\[ h = 3 \]

Енді $$h=3$$ мәнін қолданып, $$k$$ мәнін табамыз:

\[ k = h + 2 = 3 + 2 = 5 \]

Демек, шеңбердің центрі $$(3, 5)$$ болады.

2. Шеңбердің радиусын табамыз.

Радиусты тауып алу үшін центр $$(3, 5)$$ және нүкте А $$(3, 0)$$ (немесе В $$(-1, 2)$$) арқылы қашықтықты есептейміз. Нүкте А-ны қолданайық:

\[ R^2 = (3 - 3)^2 + (5 - 0)^2 \]

\[ R^2 = 0^2 + 5^2 \]

\[ R^2 = 25 \]

Сонымен, радиусы $$R = 25$$.

3. Шеңбердің теңдеуін жазамыз.

Шеңбердің теңдеуі: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 \]

Центрі $$(3, 5)$$ және $$R^2 = 25$$ мәндерін қоямыз:

\[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25 \]

Жауабы:

Шеңбердің теңдеуі \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25 \]