4. а) Лежат ли точки A(1;7), В(2;-5) и С(-2;3) на одной прямой? б) Найдите cos ∠CBA. в) Составьте уравнение окружности, диаметром которой является АС. г) Выясните взаимное расположение этой окружности и прямой 2х - 5у + 1 = 0.

Решение:

а) Проверка принадлежности точек одной прямой:

Найдем угловой коэффициент прямой AB:

\[ k_{AB} = \frac{-5 - 7}{2 - 1} = \frac{-12}{1} = -12 \]

Найдем угловой коэффициент прямой BC:

\[ k_{BC} = \frac{3 - (-5)}{-2 - 2} = \frac{3 + 5}{-4} = \frac{8}{-4} = -2 \]

Так как \( k_{AB} \neq k_{BC} \), точки A, B и C не лежат на одной прямой.

б) Нахождение cos ∠CBA:

Для нахождения \( \cos \angle CBA \) используем векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \).

\( \vec{BA} = (1 - 2; 7 - (-5)) = (-1; 12) \)

\( \vec{BC} = (-2 - 2; 3 - (-5)) = (-4; 8) \)

Скалярное произведение векторов:

\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1)(-4) + (12)(8) = 4 + 96 = 100 \]

Длины векторов:

\[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + 12^2} = \sqrt{1 + 144} = \sqrt{145} \]\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Косинус угла между векторами:

\[ \cos \angle CBA = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{100}{\sqrt{145} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{100}{4\sqrt{725}} = \frac{25}{\sqrt{725}} \]

Упростим \( \sqrt{725} \): \( 725 = 25 \cdot 29 \), \( \sqrt{725} = 5\sqrt{29} \).

\[ \cos \angle CBA = \frac{25}{5\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}} = \frac{5\sqrt{29}}{29} \]

в) Уравнение окружности с диаметром АС:

Найдем координаты середины отрезка АС (центр окружности \( O \)):

\[ O = \left( \frac{1 + (-2)}{2}; \frac{7 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}; \frac{10}{2} \right) = \left( -0.5; 5 \right) \]

Найдем длину радиуса \( R \) (половина длины АС):

\[ AC^2 = (-2 - 1)^2 + (3 - 7)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \]\[ AC = \sqrt{25} = 5 \]\[ R = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Уравнение окружности с центром \( (x_0; y_0) \) и радиусом \( R \) имеет вид \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \).

\[ (x - (-0.5))^2 + (y - 5)^2 = (2.5)^2 \]\[ (x + 0.5)^2 + (y - 5)^2 = 6.25 \]

г) Взаимное расположение окружности и прямой 2х - 5у + 1 = 0:

Найдем расстояние \( d \) от центра окружности \( O(-0.5; 5) \) до прямой \( 2x - 5y + 1 = 0 \).

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|2(-0.5) - 5(5) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|-1 - 25 + 1|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|-25|}{\sqrt{29}} = \frac{25}{\sqrt{29}} \]

Сравним расстояние \( d \) с радиусом \( R = 2.5 = \frac{5}{2} = \frac{\sqrt{25}}{2} = \sqrt{6.25} \).

\( d^2 = \left(\frac{25}{\sqrt{29}}\right)^2 = \frac{625}{29} \approx 21.55 \)

\( R^2 = 6.25 \)

Так как \( d^2 > R^2 \) (приблизительно \( 21.55 > 6.25 \)), расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. Следовательно, окружность и прямая не пересекаются.

Ответ: а) Точки не лежат на одной прямой. б) \( \cos \angle CBA = \frac{5\sqrt{29}}{29} \). в) \( (x + 0.5)^2 + (y - 5)^2 = 6.25 \). г) Окружность и прямая не пересекаются.