4*. а) Упростите выражение \(\left(\frac{1}{n^2-3n+2}+\frac{1}{n^2-n}\right):\frac{n+2}{n^2-2n}\). б) Найдите значение полученного выражения при \(n=2\). Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен обтачивать по 20 деталей в день. Однако он обтачивал в день на 8 деталей больше, и поэтому за 5 дней до срока ему осталось обточить 20 деталей. Сколько деталей требовалось обточить по плану?

а) Разложим знаменатели: \(n^2-3n+2=(n-1)(n-2)\), \(n^2-n=n(n-1)\), \(n^2-2n=n(n-2)\). Область допустимых значений исходного выражения: \(n\ne-2,0,1,2\).

Сложим дроби в скобках: \(\frac{1}{(n-1)(n-2)}+\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n+(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{2}{n(n-2)}\).

Теперь разделим на вторую дробь: \(\frac{2}{n(n-2)}:\frac{n+2}{n(n-2)}=\frac{2}{n+2}\). Упрощённая формула получена из исходного выражения при \(n\ne-2,0,1,2\).

б) При \(n=2\) исходное выражение не определено: его знаменатели обращаются в ноль. Поэтому подстановка \(n=2\) в исходное выражение невозможна, хотя упрощённая формула имеет при этом конечное значение.

Ответ к б): значение исходного выражения при \(n=2\) не определено.

Задача о токаре. Пусть до срока оставалось \(d\) дней. По плану нужно обточить \(20d\) деталей. Токарь обрабатывал по \(20+8=28\) деталей в день; за первые \(d-5\) дней он обточил \(28(d-5)\) деталей, после чего осталось 20. Составим уравнение: \(20d=28(d-5)+20\).

Решаем: \(20d=28d-120\), откуда \(8d=120\) и \(d=15\). Тогда плановое количество деталей: \(20\cdot15=300\).

Ответ: по плану требовалось обточить 300 деталей.