№ 4 AB=52 P_ABC=?

1. Треугольник ABC является прямоугольным, так как ∠C = 90°.
2. Окружность вписана в треугольник. Радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, CK = CO = OK = 8, и CK перпендикулярно AC и BC.
3. Так как CK = 8 и ∠C = 90°, то четырехугольник CKOB является квадратом со стороной 8. Следовательно, BK = BC = 8.
4. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, AK = AO и BK = BP.
5. Из рисунка видно, что OK = 8, значит, радиус окружности r = 8.
6. Так как CKOB - квадрат, то BK = 8.
7. По условию AB = 52.
8. AC = AK + KC = AK + 8.
9. BC = BK + KC = 8 + 8 = 16.
10. По теореме Пифагора: AC^2 + BC^2 = AB^2.
(AK + 8)^2 + 16^2 = 52^2.
(AK + 8)^2 + 256 = 2704.
(AK + 8)^2 = 2448.
AK + 8 = sqrt(2448) ≈ 49.48.
AK ≈ 41.48.
11. AC = AK + 8 ≈ 41.48 + 8 = 49.48.
12. P_ABC = AB + BC + AC = 52 + 16 + 49.48 = 117.48.