4. AB = 6, AC = BC. Точка O — центр окружности, C, O и D лежат на одной прямой, OD ⟂ AB, OD = 4. Найти S△ABC.

Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде AB, делит её пополам, поэтому \(AD=DB=\frac{6}{2}=3\).

В прямоугольном треугольнике ODB радиус \(OB=\sqrt{OD^2+DB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\). Значит, \(OC=5\), поскольку это тоже радиус.

Так как точки расположены в порядке C–O–D, высота треугольника \(CD=CO+OD=5+4=9\).

Площадь \(S_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot CD}{2}=\frac{6\cdot9}{2}=27\).

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=27\).