4. AB — диаметр окружности с центром в точке О, ВС — хорда. Известно, что ∠AOC = 130°. Найдите градусные меры углов треугольника BOC.

Решение:

• Угол ∠AOC — центральный, значит, дуга AC = 130°.
• Угол ∠ABC — вписанный, опирающийся на дугу AC.
• \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC = \frac{1}{2} \cdot 130^{\circ} = 65^{\circ} \]
• Так как AB — диаметр, то угол ∠ACB — вписанный, опирающийся на диаметр, следовательно, он прямой.
• \[ \angle ACB = 90^{\circ} \]
• В треугольнике ABC:
• \[ \angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 90^{\circ} = 25^{\circ} \]
• Теперь рассмотрим треугольник BOC. OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.
• Угол ∠BOC — центральный, опирающийся на дугу BC.
• Дуга BC = 360° - дуга AC - дуга AB (если C находится между A и B по дуге). Однако, здесь A, O, B лежат на диаметре.
• Угол ∠AOC и ∠BOC смежные, если C лежит на одной из полуокружностей.
• \[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \] (если C лежит на прямой AB, но C - точка окружности, значит, ∠AOC < 180).
• Если ∠AOC = 130°, то дуга AC = 130°.
• Дуга ABC = 180°. Дуга BC = 180° - 130° = 50°.
• Центральный угол ∠BOC = дуге BC = 50°.
• В равнобедренном треугольнике BOC:
• \[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - 50^{\circ}}{2} = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ} \]
• Отметим, что ∠OBC = ∠ABC, что совпадает с предыдущим расчетом.

Ответ: ∠BOC = 50°, ∠OBC = 65°, ∠OCB = 65°