4. △ABC — равнобедренный с основанием AC; AB = 8, ∠A = 30°. Найдите S△ABC.

Так как основание равнобедренного треугольника — \(AC\), его боковые стороны равны: \(AB=BC=8\). Углы при основании равны, значит \(\angle C=30^\circ\), а \(\angle B=120^\circ\).

Высота, опущенная из \(B\) на \(AC\), делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В каждом половина основания равна \(8\cos30^\circ=4\sqrt3\), поэтому \(AC=8\sqrt3\). Высота равна \(8\sin30^\circ=4\).

Следовательно, \(S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot8\sqrt3\cdot4=16\sqrt3\).

Ответ: \(16\sqrt3\).