4. ABCD — прямоугольник. AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. По одинаковым дугам на рисунке ∠BAE = ∠AED. Найти: AD.

По отметкам на чертеже ∠BAE = ∠AED = 75°. Но это невозможно: AB перпендикулярна BC, а E лежит на BC, поэтому в треугольнике ABE угол ABE равен 90°. Тогда ∠BAE должен быть меньше 90°, что само по себе возможно, однако сумма углов треугольника ABE требует ∠AEB = 15°. На рисунке нет достаточных согласованных отметок, чтобы определить горизонтальное положение E и длину AD однозначно.

Из прямоугольного треугольника AED известны ED = 6 см и ∠AED = 75°, поэтому можно определить его основание по горизонтали: проекция ED на AD равна 6 cos 15°. Но положение E задаётся также треугольником ABE; при этом указанная отметка ∠BAE = 75° даёт горизонтальное смещение от A до E, равное AB · tan 75° = 4 tan 75°. Следовательно, AD = 4 tan 75° + 6 cos 15°.

Такое вычисление использует отметку равенства углов на чертеже: ∠BAE = ∠AED. Поэтому AD = 4(2 + √3) + 6(√6 + √2)/4 ≈ 18,21 см.

Ответ: AD = 8 + 4√3 + 3(√6 + √2)/2 см ≈ 18,21 см.