4. ABCД — прямоугольник. AB = 4 см, ED = 6 см; точки A, E, D соединены отрезками. По отметкам на рисунке ∠BAE = ∠AED = 75°. Найти: AД.

В прямоугольном треугольнике ABE угол B равен 90°, а ∠BAE = 75°. Следовательно, ∠AEB = 15°. Так как AB = 4 см, то \(AE = \frac{4}{\sin 15^\circ}\).

В треугольнике AED известны AE, ED = 6 см и угол между ними ∠AED = 75°. По теореме косинусов:

\(AD^2 = AE^2 + ED^2 - 2 \cdot AE \cdot ED \cdot \cos 75^\circ\).

Подставим и используем \(\sin 15^\circ = \cos 75^\circ\):

\(AD^2 = \frac{16}{\sin^2 15^\circ} + 36 - 48 = \frac{16}{\sin^2 15^\circ} - 12\).

Так как \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), получаем \(AD = 2\sqrt{10+4\sqrt{3}}\) см, приблизительно 7.73 см.

Ответ: AД = \(2\sqrt{10+4\sqrt{3}}\) см ≈ 7.73 см.