4. ABCД — прямоугольник. AB = 4 см, точка E лежит на BC, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Найти: AD.

В прямоугольном треугольнике ECD гипотенуза ED = 6 см, а CD = AB = 4 см. Обозначим \(\angle DEC = \delta\). Тогда \(\sin \delta = \frac{CD}{ED} = \frac{2}{3}\), а \(EC = \sqrt{ED^2 - CD^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) см.

Поскольку B, E и C лежат на одной прямой, углы ниже BC дают в сумме 180°: \(\angle AEB + 75^\circ + \delta = 180^\circ\). В прямоугольном треугольнике ABE получаем \(\angle BAE = 90^\circ - \angle AEB = \delta - 15^\circ\). Поэтому \(BE = AB \cdot \tan(\delta - 15^\circ)\).

Тогда \(AD = BC = BE + EC = 4\tan(\arcsin(2/3) - 15^\circ) + 2\sqrt{5} \approx 6.49\) см.

Ответ: AD ≈ 6,49 см.