4. ABCД — прямоугольник. На рисунке AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Углы между AB и AE и между BE и EA отмечены одинаковыми дугами. Найти: AD.

Так как ABCД — прямоугольник, AB ⟂ BE. Равными дугами отмечено, что ∠BAE = ∠BEA. В треугольнике ABE сумма этих двух углов равна 90°, значит каждый равен 45°.

Следовательно, треугольник ABE — прямоугольный равнобедренный, и BE = AB = 4 см.

Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому ∠CED = 180° − ∠BEA − ∠AED = 180° − 45° − 75° = 60°.

Треугольник ECD прямоугольный при C. В нём ED = 6 см — гипотенуза, а ∠CED = 60°, поэтому EC = ED · cos 60° = 3 см.

Ширина прямоугольника BC = BE + EC = 4 + 3 = 7 см. Противоположные стороны прямоугольника равны, следовательно, AD = BC.

Ответ: AD = 7 см.