4. ABCD — трапеция, AB = CD, BC = 15, AD = 49, ∠DAB = 60°. Найти периметр P.

Равенство боковых сторон \(AB=CD\) означает, что трапеция равнобедренная. Разность оснований равна \(49-15=34\), поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(34/2=17\).

В прямоугольном треугольнике у вершины \(A\) эта проекция — прилежащий катет, а \(AB\) — гипотенуза. Тогда \(\cos 60°=17/AB\), откуда \(AB=17/(1/2)=34\). Следовательно, \(CD=34\).

Периметр: \(P=AB+BC+CD+AD=34+15+34+49=132\).

Ответ: \(P=132\).