4. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Задание 4

Дано:

• Вероятность яйца высшей категории из первого хозяйства: \( P(В | Х1) = 0.6 \)
• Вероятность яйца высшей категории из второго хозяйства: \( P(В | Х2) = 0.7 \)
• Общая вероятность яйца высшей категории: \( P(В) = 0.65 \)

Найти: Вероятность того, что яйцо из первого хозяйства: \( P(Х1) \).

Решение:

Используем формулу полной вероятности и теорему Байеса.

Пусть \( P(Х1) \) - вероятность того, что яйцо из первого хозяйства, а \( P(Х2) \) - вероятность того, что яйцо из второго хозяйства. Поскольку яйца закупаются только из этих двух хозяйств, то \( P(Х1) + P(Х2) = 1 \).

Формула полной вероятности для события В (яйцо высшей категории):

\[ P(В) = P(В | Х1) P(Х1) + P(В | Х2) P(Х2) \]

Подставим известные значения:

\[ 0.65 = 0.6 \times P(Х1) + 0.7 \times P(Х2) \]

Заменим \( P(Х2) \) на \( 1 - P(Х1) \):

\[ 0.65 = 0.6 \times P(Х1) + 0.7 \times (1 - P(Х1)) \]

\[ 0.65 = 0.6 P(Х1) + 0.7 - 0.7 P(Х1) \]

\[ 0.65 - 0.7 = 0.6 P(Х1) - 0.7 P(Х1) \]

\[ -0.05 = -0.1 P(Х1) \]

\[ P(Х1) = \frac{-0.05}{-0.1} = 0.5 \]

Таким образом, вероятность того, что яйцо окажется из первого хозяйства, равна 0.5.

Ответ: 0.5