6. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Задание 6

Дано:

• Всего монет: 4 (по 1 рублю) + 2 (по 2 рубля) = 6 монет.
• Перекладывается 3 монеты.

Найти: Вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане.

Решение:

Рассмотрим два случая, когда обе двухрублёвые монеты могут оказаться в одном кармане:

Случай 1: Обе двухрублёвые монеты оказались в другом кармане (куда переложили 3 монеты).

Чтобы это произошло, Петя должен вытащить обе монеты по 2 рубля и одну монету по 1 рублю.

1. Общее число способов выбрать 3 монеты из 6: \( C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \) способов.
2. Число способов выбрать 2 монеты по 2 рубля из 2 имеющихся: \( C_2^2 = 1 \) способ.
3. Число способов выбрать 1 монету по 1 рублю из 4 имеющихся: \( C_4^1 = 4 \) способа.
4. Число благоприятных исходов для этого случая: \( C_2^2 \times C_4^1 = 1 \times 4 = 4 \) способа.
5. Вероятность этого случая: \( P(\text{2 руб. во втором кармане}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \).

Случай 2: Обе двухрублёвые монеты остались в первоначальном кармане.

Это произойдет, если Петя вытащит все 3 монеты по 1 рублю.

1. Число способов выбрать 3 монеты по 1 рублю из 4 имеющихся: \( C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4 \) способа.
2. Вероятность этого случая: \( P(\text{2 руб. в первом кармане}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \).

Общая вероятность:

События "обе двухрублёвые монеты во втором кармане" и "обе двухрублёвые монеты остались в первом кармане" являются взаимоисключающими. Поэтому общая вероятность того, что обе двухрублёвые монеты окажутся в одном кармане, равна сумме вероятностей этих двух случаев:

\[ P\(\text{обе 2-рублёвые в одном кармане}\) = P\(\text{2 руб. во втором кармане}\) + P\(\text{2 руб. в первом кармане}\) = \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{2}{5}\) = 0.4 \)

Ответ: 0.4