4. АВСД — прямоугольник. На рисунке: АВ = 4 см, ЕД = 6 см, ∠АЕД = 75°. Найти: АД.

Обозначим через H и G проекции точек А и Д на горизонталь, проходящую через Е. Тогда расстояние между проекциями равно ширине прямоугольника: АД = HG.

1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой ЕД = 6 см и вертикальным катетом 4 см горизонтальная проекция ЕД равна √(6² − 4²) = 2√5 см.
2. Угол между ЕД и горизонталью равен α, где sin α = 4/6, то есть α = arcsin(2/3). Поскольку ∠АЕД = 75°, угол между ЕА и горизонталью, направленной влево, равен 105° − α.
3. Вертикальная составляющая ЕА равна 4 см, поэтому её горизонтальная составляющая равна 4·cot(105° − α) ≈ 2,02 см.
4. Следовательно, АД = 2√5 + 4·cot(105° − arcsin(2/3)) ≈ 6,49 см.

Ответ: АД ≈ 6,49 см.