№4. Биссектрисы двух углов прямоугольника делят его сторону на три части, каждая из которых равна 3 см. Найдите периметр прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне прямоугольника, делят противоположную сторону. Обозначим через \(a\) расстояние между этими сторонами, а через \(b\) — длину стороны, которую разделили.

Каждая биссектриса образует угол \(45^\circ\), поэтому от каждого конца разделённой стороны до ближайшей точки пересечения с биссектрисой расстояние равно \(a\). Все три части равны 3 см, следовательно, \(a=3\) см и средняя часть тоже равна 3 см. Значит, \(b=3+3+3=9\) см.

Периметр: \(2(3+9)=24\) см. Две стороны прямоугольника могут выступать в роли разделённой стороны: возможны упорядоченные пары размеров \((3,9)\) и \((9,3)\). Это два решения для обозначенных сторон, но оба задают один и тот же прямоугольник с точностью до поворота.

Ответ: периметр — 24 см; задача имеет 2 решения для упорядоченных размеров (одна форма прямоугольника).