№5. Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.

Обозначим большее основание через \(AB=8\) см, меньшее — через \(CD=5\) см, а боковую сторону — через \(AD\). Пусть диагональ \(AC\) биссектрисса острого угла \(DAB\).

Из равнобедренности трапеции горизонтальный сдвиг каждого конца меньшего основания относительно большего равен \((8-5)/2=1.5\) см. Поэтому горизонтальная проекция диагонали \(AC\) равна \(8-1.5=6.5\) см, а проекция боковой стороны \(AD\) — \(1.5\) см.

Так как \(AC\) — биссектриса угла между основанием и боковой стороной, её направление пропорционально сумме единичных направлений этих сторон. По горизонтальным составляющим получаем коэффициент \(1.5+1=2.5\) относительно единичного направления боковой стороны: \(6.5=2.5\cdot(AD/5)\), откуда \(AD=5\) см. (Эквивалентно, теорема о биссектрисе в соответствующем треугольнике даёт равенство боковой стороны меньшему основанию.)

Обе боковые стороны равны 5 см, поэтому периметр равен \(8+5+5+5=23\) см.

Ответ: 23 см.