4) Через точку O, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые k и m. Прямая k пересекает плоскости α и β в точках A₁ и A₂ соответственно, прямая m — в точках B₁ и B₂. Найдите длину отрезка A₁B₁, если A₂B₂ = 15 см, OB₁ : OB₂ = 3 : 5.

Так как точка O не лежит между параллельными плоскостями, плоскости находятся по одну сторону от O. Центральная проекция с центром O переводит одну плоскость в другую с одним и тем же коэффициентом для всех точек.

Поэтому треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂ подобны, а коэффициент подобия равен \(\frac{OB_1}{OB_2}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{3}{5},\qquad A_1B_1=15\cdot\frac{3}{5}=9\text{ см}.\)

Ответ: 9 см.