4. Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку O) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD = 8 см, MN = 12 см. Вычислите расстояние от точки D до прямой NP, площадь треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата.

Расстояние от O до стороны NP равно половине стороны квадрата: \(6\) см. Поскольку OD перпендикулярен плоскости квадрата, расстояние от D до прямой NP находится по теореме Пифагора:

\(d(D,NP)=\sqrt{OD^2+d(O,NP)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\) см.

Для площади треугольника MDN возьмём основание MN. Расстояние от D до прямой MN также равно \(\sqrt{8^2+6^2}=10\) см. Поэтому

\(S_{MDN}=\dfrac12\cdot12\cdot10=60\) см².

При ортогональном проектировании на плоскость квадрата точка D переходит в O, а M и N остаются на месте. Проекция треугольника MDN — треугольник MNO. Его высота к MN равна 6 см, поэтому

\(S_{MNO}=\dfrac12\cdot12\cdot6=36\) см².

Ответ: расстояние — 10 см; площадь MDN — 60 см²; площадь проекции — 36 см².