4. Через вершину прямого угла К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ = 15 см, FK = DK = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.

Решение:

Дано:

• \( ∠DKF = 90^ \)
• \( KM ⊥ \) плоскости \( DKF \)
• \( KM = 15 \) см
• \( FK = DK = 10 \) см

Найти: Расстояние от точки \( M \) до прямой \( DF \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник \( DKF \). Так как \( DK = FK = 10 \) см, то \( △ DKF \) — равнобедренный.

2. Поскольку \( ∠DKF = 90^ \), то \( △ DKF \) — прямоугольный равнобедренный треугольник.

3. Найдем длину гипотенузы \( DF \) по теореме Пифагора:

\( DF^2 = DK^2 + FK^2 \)

\[ DF^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200 \]

\[ DF = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \) см.

4. Проведем высоту \( KH \) из вершины прямого угла \( K \) к гипотенузе \( DF \). В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также медианой. Поэтому \( H \) — середина \( DF \), и \( DH = HF = \frac{1}{2} DF = \frac{1}{2} 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) см.

5. Длина высоты \( KH \) может быть найдена как площадью треугольника, так и через теорему Пифагора в \( △ DKH \):

\( KH = DH = 5\sqrt{2} \) см (в равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы).

6. Так как \( KM \) перпендикулярна плоскости \( DKF \), то \( KM \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \( K \), в том числе и прямой \( KH \). Следовательно, \( ∠KMH = 90^ \).

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( KMH \).

8. Расстояние от точки \( M \) до прямой \( DF \) — это длина перпендикуляра, опущенного из \( M \) на прямую \( DF \). Таким перпендикуляром является отрезок \( MH \), так как \( KH ⊥ DF \) и \( KM ⊥ KH \), а значит \( MH ⊥ DF \) (по теореме о трех перпендикулярах).

9. Найдем длину \( MH \) по теореме Пифагора в \( △ KMH \):

\[ MH^2 = KM^2 + KH^2 \]

\[ MH^2 = 15^2 + (5\sqrt{2})^2 = 225 + (25 \cdot 2) = 225 + 50 = 275 \]

\[ MH = \(\sqrt{275}\) = \(\sqrt{25 \cdot 11}\) = 5\(\sqrt{11}\) \) см.

Ответ: Расстояние от точки \( M \) до прямой \( DF \) равно \( 5\sqrt{11} \) см.