4. Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра МК. Найдите углы четырехугольника, если дуга NK=140°, дуга PK=100°.

Краткая запись:

• Четырехугольник MNKP вписан в окружность.
• MK — диаметр.
• Дуга NK = 140°
• Дуга PK = 100°
• Найти: ∠M, ∠N, ∠K, ∠P — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем величину дуги, которую опирается вписанный угол. Так как MK — диаметр, то дуга MNP = 180° и дуга MKP = 180°.
2. Шаг 2: Находим дугу NP.
   Дуга NP = Дуга MNP - Дуга MN - Дуга PK.
   Для начала найдем дугу MN.
   Дуга MN = 180° (полуокружность) - Дуга NK - Дуга KP = 180° - 140° - 100° - это неверно, т.к. сумма дуг может превысить 360.
   Правильно: Сумма всех дуг вокруг центра окружности равна 360°.
   Дуга MN + Дуга NK + Дуга KP + Дуга PM = 360°.
   Если MK - диаметр, то дуга MNK = 180° и дуга MPK = 180°.
   Дуга NK = 140°, Дуга PK = 100°.
   Дуга MK (полуокружность) = 180°.
   Дуга MN = 180° - Дуга NK = 180° - 140° = 40°.
   Дуга KP = 100°.
   Дуга PM = 180° - Дуга PK = 180° - 100° = 80°.
   Проверка: Дуга MN + Дуга NK + Дуга KP + Дуга PM = 40° + 140° + 100° + 80° = 360°. (Расчет верен).
3. Шаг 3: Находим углы четырехугольника, используя, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
4. Шаг 4: Вычисляем ∠MPK. Он опирается на дугу NK.
   ∠MPK = Дуга NK / 2 = 140° / 2 = 70°.
5. Шаг 5: Вычисляем ∠MNK. Он опирается на дугу PK.
   ∠MNK = Дуга PK / 2 = 100° / 2 = 50°.
6. Шаг 6: Вычисляем ∠NKP. Он опирается на дугу MN.
   ∠NKP = Дуга MN / 2 = 40° / 2 = 20°.
7. Шаг 7: Вычисляем ∠NMK. Он опирается на дугу NP.
   Дуга NP = Дуга NK + Дуга KP = 140° + 100° = 240° - это большая дуга.
   Нам нужна малая дуга NP, которая не является частью диаметра.
   Дуга NP = 360° - Дуга NK - Дуга KP - Дуга MN - Дуга PM.
   Дуга NP = 360° - 140° - 100° - 40° - 80° = 0°. Это некорректно.
   Используем тот факт, что MK - диаметр.
   Дуга MNK = 180°. Дуга MPK = 180°.
   Дуга MN = 180° - Дуга NK = 180° - 140° = 40°.
   Дуга PK = 100°.
   Дуга NP = 180° (полуокружность MPN) - Дуга MN = 180° - 40° = 140°.
   ∠NMK = Дуга NP / 2 = 140° / 2 = 70°.
8. Шаг 8: Проверяем, что сумма противоположных углов равна 180°.
   ∠M + ∠K = ∠NMK + ∠NKP = 70° + 20° = 90°. Это не 180°.
   Здесь нужно переосмыслить, на какие дуги опираются углы.
9. Шаг 9: Углы четырехугольника:
   ∠M (∠NMK) опирается на дугу NP.
   ∠N (∠MNK) опирается на дугу MKP. Дуга MKP = 180°. ∠MNK = 180° / 2 = 90°.
   ∠K (∠NKP) опирается на дугу NMP. Дуга NMP = Дуга NM + Дуга MP = 40° + 80° = 120°. ∠NKP = 120° / 2 = 60°.
   ∠P (∠PKM) опирается на дугу NMK. Дуга NMK = 180°. ∠PKM = 180° / 2 = 90°.
10. Шаг 10: Суммируем найденные углы: 90° + 50° + 60° + 90° = 290°. Это не 360°.
    Ошибка в определении дуг.
11. Шаг 11: Переосмысливаем:
    Дуга NK = 140°, Дуга PK = 100°.
    Так как MK — диаметр, дуга MNK = 180°, дуга MPK = 180°.
    Дуга MN = 180° - 140° = 40°.
    Дуга KP = 100°.
    Дуга PM = 180° - 100° = 80°.
12. Шаг 12: Углы четырехугольника:
    ∠N (∠MNK) опирается на дугу MKP. Дуга MKP = 180°. ∠N = 180° / 2 = 90°.
    ∠P (∠PKM) опирается на дугу MNK. Дуга MNK = 180°. ∠P = 180° / 2 = 90°.
    ∠M (∠NMK) опирается на дугу NP. Дуга NP = Дуга NK + Дуга KP = 140° + 100° = 240° - это большая дуга.
    Дуга NP (меньшая) = 360° - 240° = 120°.
    ∠M = 120° / 2 = 60°.
    ∠K (∠NKP) опирается на дугу NMP. Дуга NMP = Дуга NM + Дуга MP = 40° + 80° = 120°. ∠K = 120° / 2 = 60°.
13. Шаг 13: Проверка:
    ∠M + ∠K = 60° + 60° = 120°. Не 180°.
    ∠N + ∠P = 90° + 90° = 180°.
    Сумма углов четырехугольника: 60° + 90° + 60° + 90° = 300°. Не 360°.
14. Шаг 14: Снова переосмысливаем.
    Дуга NK = 140°, Дуга PK = 100°.
    Дуга MN = 360° - 140° - 100° - дуга MP = 120° - дуга MP.
    MK - диаметр, значит, дуга MNK = 180°, дуга MPK = 180°.
    Дуга MN = 180° - 140° = 40°.
    Дуга MP = 180° - 100° = 80°.
    Дуга NP = Дуга NK + Дуга KP = 140° + 100° = 240° (если K между N и P).
    Если четырехугольник MNKP, то дуги идут последовательно.
    Дуга MN = 40°. Дуга NK = 140°. Дуга KP = 100°. Дуга PM = 80°.
    Сумма дуг: 40+140+100+80 = 360°.
15. Шаг 15: Находим углы:
    ∠P (∠MNP) опирается на дугу MKP. Дуга MKP = 180°. ∠P = 180° / 2 = 90°.
    ∠N (∠MNK) опирается на дугу MPK. Дуга MPK = 180°. ∠N = 180° / 2 = 90°.
    ∠M (∠KMN) опирается на дугу KNP. Дуга KNP = Дуга NK + Дуга KP = 140° + 100° = 240°. ∠M = 240° / 2 = 120°.
    ∠K (∠MKP) опирается на дугу MNP. Дуга MNP = Дуга MN + Дуга NP.
    Дуга NP = 360° - Дуга NK - Дуга KP - Дуга MN - Дуга PM.
    Дуга NP = 360° - 140° - 100° - 40° - 80° = 0°. Это неверно.
    Дуга NP = 360° - (дуга NK + дуга KP) = 360° - 240° = 120°.
    ∠K = 120° / 2 = 60°.
16. Шаг 16: Проверка:
    ∠M + ∠K = 120° + 60° = 180°.
    ∠N + ∠P = 90° + 90° = 180°.
    Сумма углов: 120° + 90° + 60° + 90° = 360°.

Ответ: ∠M = 120°, ∠N = 90°, ∠K = 60°, ∠P = 90°.