№4. Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника, является ромбом. Докажите, что диагонали данного четырёхугольника равны.

Пусть вершины исходного четырёхугольника — \(A, B, C, D\), а середины его сторон — \(M, N, K, P\) соответственно.

1. По теореме о средней линии треугольника \(MN = \frac{AC}{2}\), поскольку \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\).
2. Аналогично, \(NK = \frac{BD}{2}\), поскольку \(N\) и \(K\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\) треугольника \(BCD\).
3. Четырёхугольник \(MNKP\) — ромб, поэтому его стороны равны: \(MN = NK\). Следовательно, \(\frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}\), откуда \(AC = BD\).

Что и требовалось доказать.