4) Дан четырехугольник ABCD. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке O. Точка O является серединой диагонали BD, а ∠ABD = ∠BDC. Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Так как ∠ABD = ∠BDC, а BD — секущая, прямые AB и CD параллельны: AB ∥ CD.

Диагонали пересекаются в O, поэтому A, O, C лежат на одной прямой, а B, O, D — на одной прямой. Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, значит, равны. Также ∠ABO = ∠CDO, поскольку AB ∥ CD.

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны. Из подобия AO/OC = BO/OD.

O — середина BD, поэтому BO = OD. Значит, AO = OC, то есть O также является серединой AC.

Диагонали четырехугольника ABCD делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.