5) Докажите, что если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть в четырехугольнике ABCD ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому 2∠A + 2∠B = 360°, откуда ∠A + ∠B = 180°.

Углы A и B — внутренние односторонние углы при прямых AD и BC и секущей AB. Так как их сумма равна 180°, AD ∥ BC. Аналогично, из ∠B + ∠C = 180° следует AB ∥ CD.

Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.