4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{C_1D}\), \(\overrightarrow{BB_1}\) и \(\overrightarrow{D_1D}\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Зададим координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(C(a;a;0)\), \(D(0;a;0)\), а верхние вершины имеют координату \(z=a\).

Для первой пары: \(\overrightarrow{AC}=(a;a;0)\), \(\overrightarrow{C_1D}=D-C_1=(-a;0;-a)\). Тогда их скалярное произведение равно \(-a^2\), длины равны \(a\sqrt2\) и \(a\sqrt2\), поэтому косинус угла между векторами равен \(-\frac12\). Угол составляет \(120^\circ\).

Для второй пары: \(\overrightarrow{BB_1}=(0;0;a)\), \(\overrightarrow{D_1D}=(0;0;-a)\). Векторы противоположно направлены, значит угол между ними равен \(180^\circ\).

Ответ: \(120^\circ\) и \(180^\circ\).