№4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Ребро куба 3√2. Найдите градусную меру угла между прямыми DC[неразборчивый индекс] и AC.

Индекс у точки C в обозначении первой прямой обрезан на изображении. Если имеется в виду DC₁, зададим координаты: A(0,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), C₁(a,a,a), где \(a=3\sqrt{2}\).

Направляющие векторы прямых AC и DC₁: \((a,a,0)\) и \((a,0,a)\). Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длины обоих векторов равны \(a\sqrt{2}\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{a^2}{(a\sqrt{2})^2}=\frac12\), откуда \(\varphi=60^\circ\).

Если в условии указана прямая DC без индекса, то DC параллельна AB, и угол между DC и AC равен \(45^\circ\).

Ответ: если обозначение — DC₁, то 60°; если DC — то 45°. Для однозначного ответа нужен полный индекс точки C в обозначении первой прямой.