4. Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°, высота CH = 4 см, HB − AH = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Обозначим \(AH=x\), тогда \(HB=x+6\). Для высоты, опущенной на гипотенузу, выполняется \(CH^2=AH\cdot HB\).

\(16=x(x+6)\), то есть \(x^2+6x-16=0\). Корни: \(x=2\) и \(x=-8\); длина положительна, значит \(AH=2\) см, \(HB=8\) см.

Гипотенуза \(AB=AH+HB=10\) см. Площадь равна \(S=\frac12 AB\cdot CH=\frac12\cdot10\cdot4=20\text{ см}^2\).

Ответ: 20 см².