6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что < DBC = 34°, < ABD=42° и < BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Дано:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

\( \angle DBC = 34° \)

\( \angle ABD = 42° \)

\( \angle BDC = 52° \)

Найти:

\( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \)

Решение:

1. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. \( \angle CAD = \angle DBC = 34° \) (опираются на дугу CD).

\( \angle BAC = \angle BDC = 52° \) (опираются на дугу BC).

2. Найдем углы четырёхугольника:

\( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 52° + 34° = 86° \).

\( \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 42° + 34° = 76° \).

3. Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

\( \angle C = 180° - \angle A = 180° - 86° = 94° \).

\( \angle D = 180° - \angle B = 180° - 76° = 104° \).

Проверка:

\( \angle D = \angle BDC + \angle ADB \). Нам известно \( \angle BDC = 52° \). Нужно найти \( \angle ADB \).

\( \angle ADB = \angle ACB \) (опираются на дугу AB).

В треугольнике BCD: \( \angle BCD = 180° - \angle CBD - \angle BDC = 180° - 34° - 52° = 180° - 86° = 94° \). Это соответствует найденному \( \angle C \).

В треугольнике ABD: \( \angle ADB = 180° - \angle ABD - \angle BAD = 180° - 42° - 52° \) - неверно, \( \angle BAD \) не 52°. \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 52° + 34° = 86° \).

В треугольнике ABD: \( \angle ADB = 180° - \angle ABD - \angle BAD = 180° - 42° - 86° = 180° - 128° = 52° \).

Тогда \( \angle D = \angle BDC + \angle ADB = 52° + 52° = 104° \). Это совпадает с \( 180° - \angle B \).

Ответ: \( \angle A = 86°, \angle B = 76°, \angle C = 94°, \angle D = 104° \).