4) Дано: ABC — треугольник, P — середина AC. Доказать: \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\).

Поскольку P — середина AC, вектор от A к P равен половине вектора от A к C: \(\overrightarrow{AP}=\frac12\overrightarrow{AC}\).

Представим \(\overrightarrow{BP}\) как сумму векторов по пути B–A–P и воспользуемся равенством \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\):

\[\begin{aligned}\overrightarrow{BP}&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}\\&=\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{AC}\\&=\overrightarrow{BA}+\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\\&=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}),\end{aligned}\]

так как \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\). Следовательно, требуемое равенство доказано.